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文章导读:阿基米德的恐惧 阿基米德又解决了一个难题,就是如何求圆的面积,这可是几何之父欧几里得都没有解决的问题,可是他并没有开心,反而感到了一阵恐惧,因为他在解题过程中用到了无限。 我们先来看一下阿基米德是如……各位看官请向下阅读:

阿基米德的恐惧

阿基米德又解决了一个难题,就是如何求圆的面积,这可是几何之父欧几里得都没有解决的问题,可是他并没有开心,反而感到了一阵恐惧,因为他在解题过程中用到了无限。

我们先来看一下阿基米德是如何求圆的面积的。

古希腊人早就知道了如何求长方形的面积,就是长×宽,这个很好理解,对于多边形来说呢,只要把多边形划分成多个长方形和三角形就可以了,这些图形有一个共同的特点,就是它们的边都是直线,而圆却是曲线。

为了解决这个问题,阿基米德想到了把圆拆开再拼接的方法。

把圆分成四等分的话,再拼接起来奇怪的图形的边还是曲线,那么继续分,8等分16等分32等分,这个时候就会发现曲线的边越来越直了,那要是分成无数份呢?是不是就会成为一条直线了呢?就像这样。

这样的话,就成了一个长方形,长方形的宽当然就是圆的半径r,长呢自然就是周长的一半C/2,而圆的周长是知道的,就是C=2πr,这样的话就得到了圆的面积。

解决了这么大一个难题,可是阿基米德却高兴不起来,因为他用到了无限,按理说,不管圆分成多少份,只会越来越接近直线,怎么到了无数份就突然变成了直线呢。

无限在古希腊可是一个碰不得的话题,阿喀琉斯永远追不上芝诺的乌龟还有飞矢不动都是用到了无限,结果推导出来了不可能的情况,这就是悖论。

欧几里得也是不愿意使用无限,在他的《几何原本》中第五公设就用到了无限的概念,结果他自己也不愿意使用,好像也有点担心。

欧几里得的担心是正常的,因为他是数学家,数学家本来就是上帝的代言人,他们的所有理论都必须要建立在严密的逻辑基础上,要是基础不牢固,那么大厦就是建立在流沙之上,那可是随时都可能崩塌的。欧几里得的几何大厦就是由于这一点不严密造成了基础不牢,带来了后来的非欧几何风暴。

阿基米德同样感到了害怕。

可是阿基米德和欧几里得不一样,他不但是数学家,他还是物理学家还是工程师,作为数学家务求严谨,对于物理学家和工程师就没有必要了,我们都知道他的浮力定律和杠杆原理,他还造出来过巨大的起重机,可以把罗马的战舰吊在半空。。

作为物理学家和工程师的阿基米德沿着这条路走了下去,他还用这种方法推导出来了抛物线下面图形的面积。

虽然推导有点不严谨,阿基米德还是希望自己这种方法流传下去,希望未来的数学家用这种方法来“找到我们尚未掌握的其它定理”。

2、业余数学家的贡献

这个未来有点长,都差不多有两千年了,才由一个天文学家接过了阿基米德的接力棒、这个天文学家就是被称为“天空立法者”的开普勒。

1609年,开普勒找到了行星运行三大规律中的前两条,分别是椭圆定律和面积定律。

椭圆定律是说行星的运行轨道是一个椭圆,太阳就处于椭圆的一个焦点上,这一点对于天文学非常重要,这打破了以往人们认为天体运行轨道都是完美的圆的臆想,这个以往的人们包括亚里士多德托勒密还有哥白尼。

面积定律是说行星和太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等,刚才说了,行星的轨道是椭圆,这就意味着开普勒必须要知道椭圆的面积怎么计算,要想计算椭圆的面积,这又要回到阿基米德的老路上去了,又要涉及到无限小了。

不过开普勒不在乎,虽然他数学才能出众,他也不是纯粹的数学家,在这条路上他越走越远,还写出了一本《测量酒桶的新立体几何》,在书中他引入了无穷大和无穷小的概念,随后给出了酒桶、球等物体体积的新测量方法。

开普勒的发现为自己挣得了无上的荣誉,可也砸了自己的饭碗,他本来是占星家,要论对天上星星的了解除了老师第谷之外还真没有超过它,靠这门手艺可以给达官贵人们卜一卜吉凶算一算命运,可是现在他说行星的运行都是有规律的,莫非达官贵人的命运是靠开普勒计算出来的,虽然“计算”比“算”只多了一个字,可再也没有人相信他的占星术了。

不过,为了科学为了真理,自己受点委屈也算不了什么,可是有一个人的行为却让他有点不服。

这个人就是伽利略。

1608年,荷兰人发明了望远镜,在没有见到实物的情况下,伽利略也组装了一台望远镜,并把目光投向了星空。

伽利略看到了月球的环形山还看到了木星的四颗卫星,这一系列的发现震动了欧洲,伽利略就此成为了著名的天文学家,名声甚至超过了开普勒。

开普勒知道伽利略的所有发现都依赖于望远镜,于是打算向伽利略借望远镜用一下,伽利略说不借,那么借镜片也行呀,伽利略说没有多余的。

这当然是伽利略不对,按理说,伽利略走上天文学家的道路还依赖于开普勒,当年开普勒还没有成名时,曾经把自己的著作《宇宙的奥秘》寄给过伽利略,虽然书的内容不怎么样,可就是这本书让伽利略对天文学有了兴趣。

伽利略的这种行为为微积分的发展开了一个坏头,从此后在微积分的发展过程中就充满了明争暗斗。

不过他们当时的争斗还算不上什么,毕竟俩人搞的是不一样的领域。

伽利略的最著名的研究当然是在力学上,伽利略“科学之父”的名声就是靠力学得来的,伽利略发现了运动中的曲线,他已经证明了抛体运动的轨迹就是曲线,不但运动的轨迹是曲线,就连速度变化规律也要用曲线来表示,伽利略连瞬时速度都感受到了,那么什么是瞬时速度?瞬时速度自然就是运动轨迹的切线了。

速度自然是数,切线当然是形,数和形怎么样才能搞到一块去呢?这就是解析几何。

下面该笛卡尔出场了。

说起笛卡尔,是不是第一个就会想起那个凄美的爱情故事和那条著名的心形曲线。

传说年迈的笛卡尔遇到了美丽的瑞典公主克里斯汀,爱情的火花就在睿智的老人和青春的少女之间产生了,可是国王反对这门亲事,不让笛卡尔和公主继续见面,笛卡尔就给公主写了一封信,内容自然不能是谈情说爱,要是那样的话,国王就把信扣下了,信上只有一个函数r=a(1-sinθ),可是聪明的公主却明白了笛卡尔的深情,这个函数画出来就是著名的心形曲线。

这个故事一看就是假的。

首先极坐标是牛顿首先使用的,而牛顿使用极坐标的时候笛卡尔已经去世多年了,算了,不提极坐标的事情了,也可以用平面坐标表示心形呀,可就算这样,故事照样是假的。

笛卡尔确实是克里斯汀的数学老师,不过他们俩相遇的时候公主已经即位成为女王,而且国事繁重,自然没有和笛卡尔来一段忘年恋。

笛卡尔确实死在了瑞典,不过不是因为爱情,而是他的生活习惯。

笛卡尔从小体弱多病,为了照顾他,家里允许他在床上看书,他就养成了一个坏毛病,每天中午才起床,这要是穷人家孩子也不可能有这个毛病,可他出身富裕,这个习惯可以让他有足够的时间看书,可这个习惯也要了他的命。

给女王当老师的时候,女王每天五点就要起床,作为老师总不能赖到中午才上课,又不能在床上给女王上课,再加上瑞典天气寒冷,结果就死在了瑞典,年仅54岁。

虽然笛卡尔没有和公主走到一起,可是他把代数和几何拉到了一起,这就是解析几何,这是第一次人们可以用函数来表示形状,这个形状就包含了曲线,就像心形曲线一样。

笛卡尔不但用函数表示了曲线,他还求出了曲线的切线,曲线的切线就是只和曲线有一个交点的直线,说到底这就是一个求极值的问题。

为了这个问题,笛卡尔可谓费尽了心思,以致于都开始埋怨古人。

笛卡尔曾经感叹道“(古希腊人)掌握了一种数学知识,它与我们这个时代通用的数学知识截然不同,但我的看法是……那时的卑鄙和令人愤慨的作者隐瞒了这种知识”,笛卡尔绝对是冤枉阿基米德了。

阿基米德的手稿都湮灭在了战火之中,我们都知道阿基米德临死前还在演算数学题的故事,故事可能是传说,但他确实死在了刀兵之中,后来达芬奇、伽利略还有牛顿都研究过阿基米德的著作,可是都没有见到他的推导过程,他的手稿直到1998年才重现于世,而此时那些天才们也都已经去世了。

遥远的东方也曾出现过微积分的萌芽,那就是刘徽的割圆术,祖冲之就是用割圆术把圆周率算到了七位,不过东方太遥远了,笛卡尔也看不到,既然见不到,那就自己创造出来吧。

于是笛卡尔就成了野心家,他要重建人类的知识,他的狂妄从那一句“我思故我在”就可以看出来。

如果不是一个人出现,笛卡尔就可以成功了,这个人就是费马。

提起费马,肯定是先想到那个书的空白太少的故事,好像费马就是一个喜欢奇思妙想的骗子一样,这可是冤枉了他,除了那一堆猜想外,他还在笛卡尔之前创立了解析几何,只是他并没有公布,因为他是一个业余数学家。

费马几乎是笛卡尔的反面,白天从事法律工作,晚上照顾好孩子后,他才有几个小时的时间来研究数学,和狂妄的笛卡尔比起来,费马是腼腆随和的,他并没有笛卡尔的伟大理想,数学只是他打发时间的一个爱好,费马和数学界的联系主要是通过书信,他甚至都没有见过和他通信的数学家朋友们。

可是就是这样,与世无争的费马还是得罪了笛卡尔,这要归功于费马的数学家朋友了。

对于笛卡尔的狂妄,大家都有点不爽,可是谁也没有办法,他们只好抬出了他们的朋友费马。

笛卡尔听说有一个无名小卒居然在他之前提出了解析几何,立刻勃然大怒,他开始挖空心思地诋毁费马,并阻止费马的著作出版,可是他这万钧之力却打错了地方,因为费马一直以业余数学家自居,数学只是他的一个消遣,至于是不是出版著作更是不在意,他的著作在去世后才出版。

笛卡尔看起来是取得了胜利,至少我们现在都在学习笛卡尔坐标系,虽然费马更早地提了出来,不过笛卡尔失去的更多,要是他能和费马携手并进,那对数学的推动就是一件大好事。

从伽利略开的头到了笛卡尔终于有了结果,不过这还没有发展到巅峰。

费马还求解出了曲线y=x^n下方的面积,就像这样。

还记得阿基米德是如何求得抛物线下方的面积吗?阿基米德把抛物线下的面积划分成了无数个三角形,费马的思路和他大同小异,大同是俩人都把一大块面积划分成了无数个小块,小异是费马划分成了矩形。

还是来看看费马是怎么求解的吧。

费马把曲线下的大块划分成了不相等的无数个小矩形,虽然不相等,可也有规律,这个规律就是小矩形的宽度呈等比数列,比值r小于1,如图所示。

只有了宽还不行,要想计算面积还需要长,长就简单了,只要取曲线上对应点的坐标就可以了。下面就要把这些小矩形的面积加起来了,就得到了这样一个式子。

既然是等比数列,那么就用等比数列的求和公设计算一下吧,就变成了这样。

化简一下,就成了这样。

等一下呀,现在得出来的是一堆矩形的面积,可不是曲线下的面积,每个小矩形还有一点在曲线上头呢,要想解决这个问题怎么办,当然是分得越多越好,当分到无数个小矩形的时候,那点多出来的就微不足道了,就可以舍去了,这是不是又回到阿基米德的老路上去了,这岂不是又成了追不上乌龟的阿喀琉斯了吗?人家阿基米德是物理学家还是工程师,这么做还有情可原,可费马你是数学家呀,即便是业余的,也要有数学家的严谨呀。

算了,好歹有阿基米德的先例,而且阿基米德也对了,没准这种方法还真对呢,可是就算这样,费马的方法还是不能计算,因为r还没有消除呢,人家阿基米德可是没有带着这么多零碎。

不过这难不倒费马,因为还没有到无数个小矩形呢,那什么时候才是无数个呢,当然是r=1的时候,要是r=1,公式就成了这样。

A=a^(n+1)/(n+1)

再等一下,刚才化简的时候明明说了r≠1,要是r=1的话,那么前面又是怎么消除的r-1呀,0不能做被除数,这是常识呀,虽然说业余数学家,也不能这么业余呀,又来了个自相矛盾,真是一波未平一波又起,费马并没有解决这个问题.

这还真怪不着他,因为这就是微积分的原罪,就算牛顿和莱布尼茨也解决不了。

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