本文总共1558个字,阅读需6分钟,全文加载时间:2.249s,本站综合其他专栏收录该内容! 字体大小:

文章导读:学霸小明在参加数学讨论会时,突然被以下三个问题难住了, 有个函数图像,你明明知道存在,也知道大概什么样子,就是画不出来? 有个函数图像,是周期函数,但不是常值函数,却没有最小正周期? 有个函数图像……各位看官请向下阅读:

学霸小明在参加数学讨论会时,突然被以下三个问题难住了,

有个函数图像,你明明知道存在,也知道大概什么样子,就是画不出来?

有个函数图像,是周期函数,但不是常值函数,却没有最小正周期?

有个函数图像,处处不连续,处处不可导,任何区间不可求定积分?

这三个问题的答案,你都知道吗?

其实答案是同一个函数。读完接下来关于奇妙函数的介绍,你就明白了。

数学中有很多函数性质独特,图像令人叹为观止。选取有代表性的几个,逐一进行解释。

一、心形曲线。函数的图形是心形,非常浪漫。据说,经常被理科生拿来向心仪的女孩表白。这类曲线的函数解析式或者曲线方程有多种表达方法。

1、二次曲线型。类似于x^2 –|x|y + y^2 = 4的。可在|x|y前加一个小于2的系数,

如x2 –1.3|x|y + y2 = 4,还可使图形上部更凸一些。

当然,还可以继续变形,方程改成一个更加形象的不等式,17 x^2 – 16|x|y + 17 y^2 < 225 。不等式表达的阴影部分就是心形。

值得一提的是,二次函数型的心形曲线,在今年北京高考中成为了一道解答题。考试以来,一直被人津津乐道,具体考题如下图,

2、笛卡尔提出的极坐标方程r=a(1-sinθ)。a可以任意取值,最简单的心形表达式:r = 1 – sinθ。

有个凄美的传说,笛卡尔曾经给公主写过一封信,信的内容就是这个方程,公主一看到信就明白了,发生了师生恋。只不过,最后,笛卡尔没得到国王的祝福,结局很悲惨。

3、还有一种比较简洁的表达,极坐标下的r=arccos(sinθ)。可以说是极坐标下最简洁的表达式了,利用反余弦和正弦的复合即可。函数图像如下:

4、心形图还可继续升级到三维立体中。三维立体坐标系下的方程为:(x^2+9y^2/4+z^2-1)^3-x^2z^3-9y^2z^3/80=0。在三维立体坐标系下,心形图更加形象、逼真。

三维坐标系下的曲线方程

二、分手函数。与心形函数相对应,在心形曲线基础上衍生出来的,解析式也是在第一种心形解析式上加入了一部分,使得心形图中出现裂痕。据说,可以作为理科生分手的信号。曲线方程为:17 x^2 – 16|x|y + 17 y^2 + 150/|5 x + sin(5 y)| < 225。

三、黄金螺旋线,又称斐波那契螺旋线。以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形,然后在正方形里面画一个 90 度的扇形,连起来的弧线就是斐波那契螺旋线。斐波那契数列的递推公式为F(n)n=F(n-1)+F(n-2)。通过数学证明,可以得出,按照菲波那切数列画出的曲线,第二个圆的半径与前一个圆的半径之比是黄金分割数,在艺术领域极具审美价值,因而又称为,黄金螺旋线。

黄金螺旋线有很多应用,苹果的LOGO就是一个典型例子。完全利用黄金螺旋线中的圆就可以拼成最后的苹果标志。

更详细的画法

四、蝴蝶曲线。

极坐标方程为:

参数方程为:

取e约等于2.7,可得函数图像如下:

五、双螺旋曲线。曲线方程和图像,如下图。

六、太极曲线。通过以下方程,可以得出,

七、狄利克雷函数。这个函数就是开篇提到的那个答案,这个函数图像算不上多么美丽,但是性质非常奇妙,而且解析式非常简单,只要学过实数都能看懂。当x是有理数时,函数值取1;当x取无理数时,函数值取0。解析式如下图,是个分段函数。

但是,如果你稍微琢磨一下,就会发现,怎么画图都不对,无理数和有理数之间有间隔吗?比如√2相邻的是哪个数字呢?细思极恐。真实的图像,可以说是,只可意会不可言传。通过严格数学定理可知,图像性质上表现为处处间断,处处不可导,无法求定积分,明明感觉知道它的样子,却又无法画出来。下图所画的图像,当然不是准确的,只是感觉上的样子。

狄利克雷是数学史上第一位重视概念、并有意识地“以概念代替直觉”的人。狄利克雷函数提出,标志着数学从研究“算”转变到了对“抽象问题”的研究上。

美丽的世界,奇妙的函数!

以上内容由优质教程资源合作伙伴 “鲸鱼办公” 整理编辑,如果对您有帮助欢迎转发分享!

你可能对这些文章感兴趣:

发表评论

您的电子邮箱地址不会被公开。 必填项已用*标注