数学一轮复习16，利用导数研究函数的极值、最值

【考点聚焦突破】

考点一　利用导数解决函数的极值问题

【规律方法】　由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.

角度2　已知函数求极值

【规律方法】　运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的一般步骤：(1)先求函数y＝f(x)的定义域，再求其导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查导数f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点.

角度3　已知函数的极(最)值求参数的取值

【规律方法】已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.

考点二　利用导数求函数的最值

【规律方法】　1.利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：

(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.

考点三　利用导数求解最优化问题

【规律方法】

1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：

(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域；

(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；

(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；

(4)回归实际问题作答.

2.如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.

【反思与感悟】

1.求函数的极值、最值，通常转化为对函数的单调性的分析讨论，所以，研究函数的单调性、极值、最值归根结底都是对函数单调性的研究.

2.研究函数的性质借助数形结合的方法有助于问题的解决.函数的单调性常借助导函数的图象分析导数的正负；函数的极值常借助导函数的图象分析导函数的变号零点；函数的最值常借助原函数图象来分析最值点.

3.解函数的优化问题关键是从实际问题中抽象出函数关系，并求出函数的最值.

【易错防范】

1.求函数的极值、函数的优化问题易忽视函数的定义域.

2.已知极值点求参数时，由极值点处导数为0求出参数后，易忽视对极值点两侧导数异号的检验.

3.由极值、最值求参数时，易忽视参数应满足的前提范围(如定义域)，导致出现了增解.

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