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文章导读:小豫为大家整理了初中数学三角形、四边形、圆的辅助线添加方法,考前再过一遍,速来看! 一、三角形中常见辅助线的添加 01 与角平分线有关的 ①可向两边作垂线; ②可作平行线,构造等腰三角形; ③在角的两边截取……各位看官请向下阅读:

小豫为大家整理了初中数学三角形、四边形、圆的辅助线添加方法,考前再过一遍,速来看!

一、三角形中常见辅助线的添加

01 与角平分线有关的

①可向两边作垂线;

②可作平行线,构造等腰三角形;

③在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形。

02 与线段长度相关的

①截长:证明某两条线段的和或差等于第三条线段时,经常在较长的线段上截取一段,使得它和其中的一条相等,再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可;

②补短:证明某两条线段的和或差等于第三条线段时,也可以在较短的线段上延长一段,使得延长的部分等于另外一条较短的线段,再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可;

③倍长中线:题目中如果出现了三角形的中线,方法是将中线延长一倍,再将端点连结,便可得到全等三角形;

④遇到中点:考虑中位线或等腰等边中的三线合一。

03 与等腰等边三角形相关的

①考虑三线合一;

②旋转一定的度数,构造全都三角形,等腰一般旋转顶角的度数,等边旋转60°。

二、四边形中常见辅助线的添加

01 和平行四边形有关的辅助线作法

平行四边形是最常见的特殊四边形之一,它有许多可以利用性质,为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。

①利用一组对边平行且相等构造平行四边形;

②利用两组对边平行构造平行四边形;

③利用对角线互相平分构造平行四边形。

02 与矩形有关的辅助线作法

①计算型题,一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题;

②证明或探索题,一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题。和矩形有关的试题的辅助线的作法较少。

03 和菱形有关的辅助线的作法

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线,借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题。

①作菱形的高;

②连结菱形的对角线。

04 与正方形有关辅助线的作法

正方形是一种完美的几何图形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,有关正方形的试题较多。

解决正方形的问题有时需要作辅助线,作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线。

05 与梯形有关的辅助线的作法

和梯形有关的辅助线的作法是较多的 ,主要涉及以下几种类型:

①作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形;

②作梯形的高,构造矩形和直角三角形;

③作一对角线的平行线,构造直角三角形和平行四边形;

④延长两腰构成三角形;

⑤作两腰的平行线等。

三、圆中常见辅助线的添加

01 遇到弦时(解决有关弦的问题时)

常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半径(或直径)或再连结过弦的端点的半径。

作用:

① 利用垂径定理;

② 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系;

③ 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。

02 遇到有直径时

常常添加(画)直径所对的圆周角作用:利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。

03 遇到90度的圆周角时

常常连结两条弦没有公共点的另一端点作用:利用圆周角的性质,可得到直径。

04 遇到弦时

常常连结圆心和弦的两个端点,构成等腰三角形,还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

作用:

①可得等腰三角形;

②据圆周角的性质可得相等的圆周角。

05 遇到有切线时

常常添加过切点的半径(连结圆心和切点)。

作用:

利用切线的性质定理可得OA⊥AB,得到直角或直角三角形。

常常添加连结圆上一点和切点。

作用:

可构成弦切角,从而利用弦切角定理。

06 遇到证明某一直线是圆的切线时

① 若直线和圆的公共点还未确定,则常过圆心作直线的垂线段;

作用:若OA=r,则l为切线。

②若直线过圆上的某一点,则连结这点和圆心(即作半径);

作用:只需证OA⊥l,则l为切线。

③有遇到圆上或圆外一点作圆的切线。

07 遇到两相交切线时(切线长)

常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。

作用:据切线长及其它性质,可得到

① 角、线段的等量关系;

② 垂直关系;

③ 全等、相似三角形。

08 遇到三角形的内切圆时

连结内心到各三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段。

作用:利用内心的性质,可得

① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线;

② 内心到三角形三条边的距离相等。

09 遇到三角形的外接圆时

连结外心和各顶点。

作用:外心到三角形各顶点的距离相等。

10 遇到两圆外离时(解决有关两圆的外、内公切线的问题)

常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线,或平移连心线。

作用:

①利用切线的性质;

②利用解直角三角形的有关知识。

11 遇到两圆相交时

常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。

作用:

①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识;

② 利用圆内接四边形的性质;

③ 利用两圆公共的圆周的性质;

④ 垂径定理。

12 遇到两圆相切时

常常作连心线、公切线。

作用:

①利用连心线性质;

②切线性质等。

13 遇到三个圆两两外切时

常常作每两个圆的连心线。

作用:可利用连心线性质。

14 遇到四边形对角互补时

常常添加辅助圆。

作用:以便利用圆的性质。

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