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文章导读:初看含平方根和立方根的代数式相比于之前只含有理数的整式计算多了几分复杂。原来一些肯用最直白的硬算死算的方法,在这种含根式题目的计算里显然无能为力。我们很难精确地表述根式的数值。含无理数的算式里,我们……各位看官请向下阅读:

初看含平方根和立方根的代数式相比于之前只含有理数的整式计算多了几分复杂。原来一些肯用最直白的硬算死算的方法,在这种含根式题目的计算里显然无能为力。我们很难精确地表述根式的数值。含无理数的算式里,我们计算变得更难看清结果,事实真会这样吗?其实有理数与无理数之间的恩怨情仇中,是否也充满着我们理解数字的幽默与乐趣。

两种数字的不同,正构建根式计算的乐趣

我们初中生学习有理数算式的计算,那么,进行此类计算时,首先,总体方向是将其转化为自己熟悉的类型。计算中的化简一定必不可必,在根式的计算中,应增添有理化的构思;其次,细节上,分析不同方根部分的特点去有理化根式里的具体内容和表述,根据特点去整理归类、形式有理化的方向;接着,若无法完全有理化的情况下一,进行消除差异或特殊化简,形成消元或降次方,也是有理化的过程;最后,实现用有理数的代数形式解题。具体到原则和步骤如下:

1、原则上,先化简,再求值

2、将无理式进行有理化。建立不同根式中的联系,尽量让根式间内容能互为有理化;

3、分类进行降次或升次的有理化。减少根式项、分母根式有理化。

4、借助数量的几何意义,将根据的关系,用几何图形表示,如用边长、面积、体积量化。

5、有理化完成后,再进一步合并、消元和降次,实现条件与结果的对接。

根式计算的简要步骤

例一:化简

例题一和二的对比

例题一和二,我们都可以发现两种根式内容,从抽象上看是一样,只是前者为字符形式,后者为数字形式,数字形形我们对每个根式进行化简:

解:(1)当我们做第二题时,每个根式直接计算,就可以得到结果为-√2,这时代数计算碰巧还可以解决;

(2)直接计算的思路,用于解第一题显然不行,这时只能先进行化简,具体方法如下图

解题步骤

小结: (1)从上述计算结果看,a=√2,结果就是-√2,只是一种特例;

(2)a>0的结果如上题;但是,当a<0时,是什么情况;当第一个根号,减数与被减数互换,又是怎么的情况?这些类型,感兴趣的同学可以自己再想想、算算。

例二:有理化

1、分母有理化的简化方法,计算(4+√15)/(4-√15)

解:很容易让人联想到(a+b)*(a-b)=a^2-b^2,运用此公式有理化,化简得:31+8√15

小结:算式与结果之间的联想与变形:(1)31+8√15=4^2+8√15+(√15)^2=(4+√15)^2;(2)此题虽简单,但我们应该知道,有理化与化简,同时进行的重组,有理化很多时候不是一步到位,是一个由繁到简的过程。有时可以从分母开始,也可以从某个根号内部开始;有时还要另外引入辅助公式或算式计算,如√2+√3的倒数是1/(√3-√2)进行辅助。

2、引入辅助项的方式(3-2√2),计算1/(3+2√2) +√32 -4/√2

解:第一步化简分母的根式得:(3-2√2) +√32 -2√2

第二步合并计算得:3

小结:有理化是根式运算的基础,应用特殊公式、分母局部优化,优化后进行根式的运算提出可有理化的部分,尽量简化或消除无理式。

3、引入辅助项和推理化简的方式,计算1/(1+√2) + 1/(√2+√3) + 1/(√3+√4) + 1/(√4+√5) + ...... + 1/(√2021+√2022)

解:这道题虽看起来有点长,但按分母的特点进行有理化后,

(√2-√1)+(√3-√2)+(√4-√3)+(√5-√4) + ...... +(√2022-√2021)

计算得:√2022-√1

小结:公式和“1”的特殊形式,常是分母有理化突破口,简化计算的重要形式。大家平时做题时,除了有理化方法的灵活运用外,多记住一些特殊形式。如互为倒数、互为相反数、或取值为[1、0、-1]、不能为0,不能小于0却又有负号等特殊数值。

例三:特殊形式

1、互为倒数,已知√x + 1/√x=5,求x/(x^2 + 2021*X +1)

解:第一步有理化,从已知算式,进行平方得:x + 1/x=23;

第二步算式进行简化,对分母进行变形,同时除以x得,1/(x + 2021 +1/x)

第三步将第一步结果代入得:1/2044

2、互为相反数,已知x,y为实数,且(x+√(x^2+1))(y+√(y^2+1))=1,求x+y

解:用特值法验证,我们发现任何一组互为相反数的(x,y)=(3,-3)都满足条件且x+y=0,那么事实结果是否一定为这样,我们这沿着结果去化简推导。

第一步,设法将x,y从相乘的关系变到相加的关系,(x+√(x^2+1))=1/(y+√(y^2+1)), 得到√(x^2+1)+x=√(y^2+1)-y.....①,同理得√(y^2+1)+y=√(x^2+1)- x...

第二步,有理化,①+②的方法削除根式得,x + y = - x - y

第三步,解得 x + y = 0

小结:(1)特殊公式变形√(x^2+1)+√x^2=1/(√(x^2+1)+√x^2)的应用;(2)互为倒数和相反数的应用;(3)有理化的去根式;(4)特殊法的验证等四方面在此题解答时被结合使用,让看似困难的问题变得容易。

很多时候解一道题,是多种因素综合使用的结果,多管齐下让复杂问题简单化;同时很多复杂的解法也是多个简单方法的结合体。

例四:几何意义的应用

将根式数值与运算关系,用几何意义表示出来,有时也会让对无理数的理解变得清楚。

1、比较√37+1、5√2两个数之间的大小

解法一:用代数方式去根号

第一步,两个数平方(√37+1)^2=38+2√37;(5√2)^2=50

第二步,两数相减 38+2√37-50=2√37-12=√148-√144>0

第三步,解得√37+1 > 5√2;

解法二:用几何的线段长、面积等的解答

将两个√37+1、5√2分别表示为直角三角形的斜边

将两个无理数用长度表示出来

第一步:斜边AB=√(1^2+6^2)=√37;斜边AC=√(1^2+(6+1)^2)=√50=5√2

第二步:根据三角形ABC,AB+BC>AC得√37+1 > 5√2,这种解法直观形象。

2、已知三角形三边长为√5、√17、2√2,求三角形的面积,又该如何求出来了?除了使用海伦公式外,使用如上题线长的几何意义,分解根式的方法显然更易于计算和理解,具体解法同上,留给有兴趣的读者自己处理。

通过以上举例,我们发觉根式里的世界里,有很可联结有理数和无理数的奇点。组成的根式计算,比起有理数的代数式计算,看起来更加复杂,但是,同时乐趣似乎也多了几分。简单归纳如下:

1、难点:在复杂的代数式计算中,纯有理数的算式,计算起来有时蛮干和硬算还行,只是耗时间和体力的问题;但这种苦干的精神用到含根式、无理数的运算是行不通。

乐趣:我们开始不蛮干,用巧做的方式得以解决。巧做的思路是首先,设立总目标是去或消除无理数,将无理式有理化;其次,具体做法是用特殊算式、特别数值、升次或降次等多措并举的方式,让原本无理复杂的算式,变通有理通俗,这是就解根式的挑战与快乐;最后,还可以让算术变成几何。

2、难点:无论是有理数还是无理数,只要是实数,我们就可以用几何意义表示出来。简单元的有线长、面积或体积等。

乐趣:当抽象的数值,变得和生活一样真实而且有意义,那何尝不是另外一种乐趣!

看我们如何与其交友而已。

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