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文章导读:古希腊哲学家毕达哥拉斯被认为是算数、几何、天文以及音乐这些门类的鼻祖,他提出万物皆数学的概念,认为世间万物的规律都能够用数学来解释,研究数学的目的不是为了使用它,而是为了探索宇宙的奥秘,以及发现这个……各位看官请向下阅读:

古希腊哲学家毕达哥拉斯被认为是算数、几何、天文以及音乐这些门类的鼻祖,他提出万物皆数学的概念,认为世间万物的规律都能够用数学来解释,研究数学的目的不是为了使用它,而是为了探索宇宙的奥秘,以及发现这个世界的真理。他的思想为后来的数学定下了基准,认为数学必须是经过假设、演绎、推理和论证后的结论,才能称之为定理。

毕达哥拉斯定理应不应该叫勾股定理

公元前582年,毕达哥拉斯出生于古希腊萨摩斯岛,被我们中国人所熟知的,是他的毕达哥拉斯定理,也就是中国的“勾股定理”。中国数学史家钱宝琮先生在二十世纪五十年代,查找文献后提出的,中国人早就有了这个“毕达哥拉斯定理”,那就是勾股定理。商朝时期,周文王的儿子商高就提出了“勾三、股四、弦五”一说,要比毕达哥拉斯早500多年。

后来在《周髀算经》中也有相似的记载,“若求斜至日者,以日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并而开方除之,得斜至日”,也就是我们数学当中,a²+b²=c²,此时与毕达哥拉斯所处同一个时代。但是陈子在《周髀算经》未能完成证明,证明工作要等到三国时期的赵爽来完成的。按照毕达哥拉斯的理论,假设、演绎、推理,论证之后才能算是定理,因此我们的勾股定理证明是在三国时期,要晚于古希腊时期的毕达哥拉斯。

有些学者认为,毕达哥拉斯的理论来自于古埃及。1945年美国数学史家和天文史家诺伊格鲍尔,在研究巴比伦泥版的时候发现,巴比伦人在汉穆拉比时代就已经发现了毕达哥拉斯数组,这些数字一共有15行,4列数字组成。巴比伦是按照六十进制换算的,如果换算为十进制,完全就是勾股定理的数列,最高列到13500²+12709²=18541²。和中国人一样,埃及人并没有推理、论证这些数字,而是把他们当作工具。

巴比伦泥版

这其实涉及到东西方文明理念上的区别,东方人认为有用的才叫知识,研究数学的目的是为了解决实际问题,因此数学和天文、立法等紧密联系在一起。但是希腊人就不同,他们纯粹为了研究数学,经常会为了一个问题锲而不舍。比如圆的直径为什么是相等的,等腰三角形底角为什么相的等等。这些在我们中国人看来就是钻牛角尖,毫无意义。但是在他们看来这就是推理,这是论证,这就是科学。

古希腊的哲学和数学是密不可分的,柏拉图曾经说过数学是一切知识当中最高的形式,上帝都应该是一位几何数学家,柏拉图在他创建的柏拉图学院门口就立着一个牌子,不懂几何学的不准入内。他们认为要研究哲学,首先要学好数学。

因此无论是中国的商高,还是巴比伦文明,都未能表明这些数字所代表的几何意义,不能说明他们已经掌握了毕达哥拉斯定理的。

毕达哥拉斯定理的历史意义

相对于定理的发现,定理的证明要困难得多,更为关键的是,定理的证明更能体现数学的本质。毕达哥拉斯学派完成的演绎证明在西方思想史上具有重要的意义,它几乎是件不合理的事情,因为人类凭经验、归纳、类比和实验已经获得了那么多高度可靠的知识。但希腊人需要真理,并觉得只有用无容置疑的演绎推理法才能获得真理。

在古代文明当中我们确实能够观察到勾股数的存在,勾是三尺长,股是四尺长,弦长刚好就是五尺长了,可是这里面有个问题,古代测量是不准确的,有可能是3.01,也有可能是3.02,也就是说这个发现是巧合,刚好是一个整数,而且还不是无理数。如果我们遇到黄金分割点这种无理数,这个运算就非常困难了。

很多假设,称不上定理,因为它不能够被推理,完成自洽的证明。但是这不代表这项发现没有用,比如牛顿第一定律,万有引力定律,在我们日常生活当中,这个定理是没有问题的,但是如果发展到量子领域,这个定理就不好用了,但是这不影响我们在生活当中去应用它。

数学的结论只能从逻辑出发,通过归纳或者演绎得出结论,没有例外,即使有一条例外,都会被否定掉。比如数学界最著名的哥德巴赫猜想,任一大于2的整数都可写成三个质数之和,即使人们利用计算机,也只能在有限范围内验证它,但是不能验证所有的数字,因此我们就只能说这是一个猜想,而不能证明它是一个定理。

有了这一套逻辑体系,后人需要前人的基础上往前走,中间的过程就不会有缺陷。自从有了毕达哥拉斯定理,人类几何学当中的三角学才得以建立,笛卡尔的几何学才得以确立,再往后发展出了微积分等数学工具。即使我们现在的航天领域,依然证明毕达哥拉斯定理是正确的,这就是数学的威力。

万物皆数学

毕达哥拉斯学派认为万物背后都存在着数的法则,认为数是万物的本原,比如毕达哥拉斯学派发现宇宙中行星运动与数的关系,这种关系在后来天文学家的不断探索中发现了著名的开普勒第三定律,又名“调和定律”。每个宇宙中的每个天体,都在一定的和谐比例的状态下运行。

与宇宙间天体运行相似的是,毕达哥拉斯将一条弦固定,通过不同的比例区分整体与部分间的距离,结果发现:弦长比为2:1时,则发出相隔八度的两个高音;当弦长之比为4:3、3:2时,则发出纯五度、纯四度的音程关系,这种数量关系,是对乐音组成的原初认识,即和谐的最简单的形式。

如果不按照比例分配音节是什么结果呢?我们听到的声音就如同噪音,而不是有规律的乐音。今天对耳蜗的解刨学研究发现,耳蜗的形状其实也是螺旋线的,和黄金分割的螺旋线非常吻合。这可能是按照黄金分割设定音律后,声音悦耳的原因。

黄金数被冠为“最优雅的比例节奏”的美称,在现实中有很多体现。人类自身的身体从肚脐到脚底的高度与身高的比为黄金数;埃及金字塔的底面边长与高的比为黄金数;我们在拍照的时候如果站在黄金分割点,就会比较协调。

黄金分割点这个数学发现了自然界当中物理学特性,如果我们把一个长方形不断按照黄金分割点进行切割,然后将每个切掉的正方形的边用圆弧进行替代,就会得到像蜗牛壳一样的螺旋线。不仅如此,如果我们看卫星云图,龙卷风也是这种形状,银河系中的星系也是如此。这不是巧合,因为任何东西如果从中心出发,同比例放大,必然得到这样的形状。

黄金分割点是我们宇宙当中的一个常数,因此当我们看见这个常数的物体的时候就显得特别亲切,如果建筑当中满足了这个几何特征,就显得特别美,无论是断臂的维纳斯,还是埃及金字塔,都符合这一尺寸比例。类似的,如果你观察达芬奇的《蒙娜丽莎》,他绘画当中的主要结构也是对应一条等角螺旋线。

达芬奇曾经说过,“欣赏我作品的人,没有一个数学家”,他将几何学运用到他很多作品当中,除了上述的《蒙娜丽莎》,他在《最后的晚餐》当中,将画中的13个人物,还有窗台、窗户等不同距离,不同比例的物体,全部按照人类对光线的反射规律,准确地展现在同一平面,没有一点偏移,其中的奥妙在于,达芬奇严格实践了射影几何中的“没影点”原理,这幅画的没影点就在耶稣的右太阳穴上。画面里,耶稣被安排在视觉的中心,而叛徒犹大则被放在了黄金分割点上,这是一个并不引人注目、却最让人感觉视觉舒适的位置。

对文艺复兴的这些大师来说,数学是他们的必修课,无论绘画、雕塑都从宗教神秘转向数学的世界。艺术家们将客观世界的规律再现,其背后也是人类对理性的认同与回归。数学研究的不断进步,也在不断改变着人类的审美习惯,进而改变着艺术的表现形式。凭借绘画这个载体,人类的理性思维和感性思维得到了统一和升华,数学在人类精神文明的幕后一直在默默做贡献。

虽然在我们商朝就发现了勾股定理,但是这只能算是发现,而不能称之为数学。某种意义上讲,数学的发展史,就是人类理性精神的进化史。西方人在理性主义思想的影响下,推崇严谨完美的逻辑,擅长用演绎推理的方法搞研究,不仅创造了古典哲学体系,其实也孕育了民主法制的人文思想,这是近代西方崛起的一个重要因素。对我们现代人来说,只有摆脱经验主义的狭隘,用更开阔的思维去探索世界,科学才能不断进入新领域,而数学作为最重要的基础学科,一定会在科学发展的新潮流里发挥更大的作用,帮助人类创造出更加辉煌的文明。

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